Differentiaalvergelijkingen – Reeksoplossingen van lineaire differentiaalvergelijkingen – De methode van Frobenius

Stelling: Als \(x_0\) een regulier singulier punt is van de differentiaalvergelijking

\[y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=0,\]

dan zijn zowel \((x-x_0)p(x)\) als \((x-x_0)^2q(x)\) analytisch in \(x=x_0\). Dat betekent dat er positieve constanten \(R_1\) en \(R_2\) bestaan zodat

\[(x-x_0)p(x)=\sum_{n=0}^{\infty}p_n(x-x_0)^n,\quad|x-x_0| < R_1\;\quad\text{en}\quad\;(x-x_0)^2q(x)=\sum_{n=0}^{\infty}q_n(x-x_0)^n,\quad|x-x_0| < R_2.\]

Dan bestaan er oplossingen \(y(x)\) van de differentiaalvergelijking die geschreven kunnen worden als

\[y(x)=|x-x_0|^r\sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-x_0)^n,\quad c_0\neq0.\]

In feite, als \(R=\min\{R_1,R_2\}\) dan geldt

\[y(x)=|x-x_0|^r\sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-x_0)^n,\quad 0 < |x-x_0| < R.\]

Hierbij is \(r\) een oplossing van de indexvergelijking

\[r(r-1)+p_0r+q_0=0.\]

Bovendien, als \(r_1,r_2\in\mathbb{C}\) de oplossingen zijn van deze indexvergelijking met \(\text{Re}(r_1)\geq\text{Re}(r_2)\), dan geldt:

  1. Als \(r_1-r_2\notin\{0,1,2,\ldots\}\), dan geldt: \[y_1(x)=|x-x_0|^{r_1}\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n,\quad a_0\neq0\;\quad\text{en}\quad\;y_2(x)=|x-x_0|^{r_2}\sum_{n=0}^{\infty}b_n(x-x_0)^n,\quad b_0\neq0\]

    zijn twee lineair onafhankelijke oplossingen van de differentiaalvergelijking.


  2. Als \(r_1-r_2=0\), dus \(r_1=r_2=r\), dan geldt: \[y_1(x)=|x-x_0|^{r}\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n,\quad a_0\neq0\;\quad\text{en}\quad\;y_2(x)=y_1(x)\ln|x-x_0|+|x-x_0|^{r}\sum_{n=0}^{\infty}b_n(x-x_0)^n\]

    zijn twee lineair onafhankelijke oplossingen van de differentiaalvergelijking.


  3. Als \(r_1-r_2\notin\{1,2,3,\ldots\}\), dan geldt: \[y_1(x)=|x-x_0|^{r_1}\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n,\quad a_0\neq0\;\quad\text{en}\quad\;y_2(x)=Ay_1(x)\ln|x-x_0|+|x-x_0|^{r_2}\sum_{n=0}^{\infty}b_n(x-x_0)^n,\quad b_0\neq0\]

    zijn twee lineair onafhankelijke oplossingen van de differentiaalvergelijking, waarbij \(A\) een constante is, die nul kan zijn of niet.

Enkele opmerkingen:

  • Een reeks van de vorm \(\displaystyle|x-x_0|^r\sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-x_0)^n\) heet een gegeneraliseerde machtreeks. Alleen als \(r\in\{0,1,2\ldots\}\) reduceert deze gegeneraliseerde machtreeks tot een gewone machtreeks.

  • De oplossingen \(r_1\) en \(r_2\) van de indexvergelijking heten indices.

  • In het tweede geval heeft \(y_2(x)\) altijd een logaritmische singulariteit. Het is altijd mogelijk om \(b_0=0\) te kiezen.

  • In het derde geval heeft \(y_2(x)\) alleen een logaritmische singulariteit als \(A\neq0\), maar niet als \(A=0\).

Het bewijs van deze stelling van Frobenius is constructief:

Bewijs: Vermenigvuldig de differentiaalvergelijking met \((x-x_0)^2\):

\[(x-x_0)^2y''(x)+(x-x_0)^2p(x)y'(x)+(x-x_0)^2q(x)y(x)=0.\]

Nu geldt: \((x-x_0)p(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}p_n(x-x_0)^n\) en \((x-x_0)^2q(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}q_n(x-x_0)^n\) en dus

\[(x-x_0)^2y''(x)+(x-x_0)\left(\sum_{n=0}^{\infty}p_n(x-x_0)^n\right)y'(x)+\left(\sum_{n=0}^{\infty}q_n(x-x_0)^n\right)y(x)=0.\]

We substitueren nu \(y(x)=(x-x_0)^r\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-x_0)^n=\sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-x_0)^{n+r}\) met \(c_0\neq0\). Dan volgt:

\[y'(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+r)c_n(x-x_0)^{n+r-1}\quad\text{en}\quad y''(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+r)(n+r-1)c_n(x-x_0)^{n+r-2}.\]

Dus geldt:

\begin{align*} &\sum_{n=0}^{\infty}(n+r)(n+r-1)c_n(x-x_0)^{n+r}+\left(\sum_{n=0}^{\infty}p_n(x-x_0)^n\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty}(n+r)c_n(x-x_0)^{n+r}\right)\\[2.5mm] &{}\hspace{25mm}{}+\left(\sum_{n=0}^{\infty}q_n(x-x_0)^n\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-x_0)^{n+r}\right)=0. \end{align*}

Dit is alleen waar als de coëfficiënten van alle machten van \(x-x_0\) gelijk aan nul zijn. De coëfficiënt van de laagste macht van \(x-x_0\), dus van \((x-x_0)^r\), is gelijk aan

\[\{r(r-1)+p_0r+q_0\}c_0.\]

Omdat \(c_0\neq0\) volgt hieruit dat \(r(r-1)+p_0r+q_0=0\) en dat is de indexvergelijking. Verdere details laten we hier achterwege.

Vergelijk met de theorie van Euler differentiaalvergelijkingen.


Laatst gewijzigd op 13 mei 2021
© Roelof Koekoek

Metamenu