4. Resultaten.


4.1. De keuze van de coëfficienten.
In het model zijn een aantal constanten, te weten: groeifactor van de konijnen (a), het maximum van het aantal konijnen (b) (die we niet laten afhangen van de tijd. Er zijn wel twee figuren waarbij het maximum van de tijd afhangt (zie bijlagen figuur 3 en figuur 4), maar dan komen we in de problemen met het richtingsveld), de groeifactor van de wolven (c) en het eindaantal konijnen (d). We zullen nu de keuzes voor de waarden verklaren.
De keuze van de coëfficienten hangt natuurlijk af van de tijdseenheid. We beschouwen t in weken.
Laten we nu beginnen met de konijnen. Twee konijnen (een mannetje en een vrouwtje) zullen gemiddeld ongeveer 10 jongen per worp krijgen en ze zullen zo'n vier keer per jaar werpen. Dit levert totaal zo'n 40 jongen per paar op, dus 20 per konijn per jaar. Als we dit door 52 delen, komen we uit op 0,3846 jongen per konijn per week. Dit is dus de waarde voor a(b-u(t)).
Hoe komen we aan de waarde voor a? Dit is niet zo simpel. Daarvoor moeten we eerst de waarde van b weten. Dat is niet moeilijk, omdat b het maximum aantal konijnen is dat kan leven in het gebied en als we (theoretisch) het gebied groter of kleiner maken, veranderd b in zelfde mate.
We stellen gewoon dat er maximaal 1000 konijnen kunnen leven in het gebied.
Terug naar de waarde van a. Nog steeds is het moeilijk om a te bepalen, maar we hebben wel een goede indicatie. De waarde van 0,3846 was te groot. We proberen het gewoon met een waarde van 0,01. Dit blijkt goed te werken.
Dan nu de waarden voor c en d. Hetzelfde verhaal gaat hier weer op. Eén paar wolven zal per jaar ongeveer 5 jongen krijgen. Dat is 0,04807 per dier per week. Deze waarde is te groot voor de parameter c (door de term (u(t)-d)).
Weer moeten we eerst een waarde voor d hebben. Die nemen we 100. Na wat proberen krijgen we bij een waarde van 0,038 een behoorlijk goede afspiegeling van de werkelijkheid.
Dan hebben we nog twee beginvoorwaarden (we willen immers een éénduidige oplossing) u(0) en v(0). Het blijkt na onderzoek van de grafieken, dat het evenwicht op dezelfde plaats ligt bij elke positieve waarde van u(0) en v(0).

4.2. Het evenwicht.
Allereerst is er natuurlijk de vraag: komt er een evenwicht?
het antwoord hierop is: ja. (zie Bijlage Fig. 1.)
Dan volgt automatisch de vraag of het evenwicht stabiel dan wel instabiel is.
Het antwoord hierop is eenvoudig, namelijk: ja. De achterliggende gedachte is ook niet echt moeilijk, al is het moeilijker om het wiskundig te bewijzen (dit zal ik dan ook achterwege laten).
Als je goed kijkt naar figuur 2 van de bijlagen, dan zie je dat de grafiek om een punt heen cirkelt en er steeds dichter naar toe gaat. Dit is precies het (stationaire) punt (d,a(b-d)). Aangezien de grafiek er niet meer vandaan gaat, mag je aannemen dat het evenwicht stabiel is. Ook als je kijkt naar figuur 1 van de bijlagen, zie je dat de twee grafieken nagenoeg constant blijven na een bepaalde tijd (). Ook dit is een (sterke) aanwijzing dat het evenwicht stabiel is.

4.3. De vergelijking met de werkelijkheid.
Een model is per definitie een eenvoudige afspiegeling van de werkelijkheid. Dit betekend echter wel, dat je ook moet kijken hoe goed die afspiegeling is !
Om dit te doen, proberen we rand-situaties uit, zoals beginnen met nul wolven of nul konijnen en kijken wat er gebeurd. Zo ook beginnen met meer konijnen dan maximaal in het gebied kunnen leven. Na verschillende grensgevallen bekeken te hebben, kunnen we niet anders zeggen, dan dat het model zeer goed de werkelijkheid weerspiegelt.
Alle grafieken die hieruit zijn voortgevloeid staan in de bijlagen.

4.4. Uitbreiding van het model.
Het model zou nog wel op een paar punten uitgebreid kunnen worden (dit maakt het echter wel een stuk ingewikkelder).
Ten eerste zal de relatie tussen u(t) en v(t) in de dv voor u(t) (het produkt) waarschijnlijk een extra factor nodig hebben: of eventueel .
Verder zouden we er bijvoorbeeld parameters in kunnen stoppen die verband houden met ziekte van dieren of andere natuurlijke vijanden van de prooidieren.
Hier kijken we echter helemaal niet naar, omdat dat veel te ingewikkeld zou worden en veel te veel tijd zou gaan kosten.

---