1. Het lineaire interpolatie polynoom p wordt gegeven door

   p(x) = x-x1 x0-x1 f(x0) + x-x0 x1-x0 f(x1),

   waarbij de afbreekfout gegeven wordt door de formule

   f(x)-p(x) = 1 2 (x-x0)(x-x1)f¢¢(x).

   We beschouwen de functie f(x) = 4x³,  x Î [0,1].

   1. Geef de formule van de lineaire spline s op [0,1] waarbij de roosterpunten gegeven worden door x₀ = 0, x₁ = [1/2], x₂ = 1.
   2. Geef een bovengrens voor de afbreekfout voor x Î [0,[1/2]]. Bepaal |f([1/4]) - s([1/4])| en vergelijk dit met de bovengrens.
   3. Hoe groot is de afrondfout |[^(s)](x)-s(x)| als we rekenen met een [^(f)], waarbij |[^(f)](x)-f(x)| < e.
   4. Stel e = 0.1. Is het zinvol om een spline te gebruiken met een kleinere stapgrootte (+ motivatie).

2. Gegeven het randwaarde probleem

   -y¢¢(x)+y¢(x) = f(x),  x Î [0,1], met y(0) = 1, y(1) = 1.

   De roosterpunten worden gegeven door x_j = jh,  j = 0,...,n met h = 1/n.

   1. Geef een discretisatie van -y¢¢_j+y¢_j = f_j waarbij de fout van de tweede orde is (+ bewijs).
   2. Geef voor n = 4 en f(x) = x het stelsel A u = b, waaraan de numerieke benadering u moet voldoen.

¹ voor de antwoorden zie: ../wi211/tentamen.html