1. We beschouwen tweede orde Lagrange interpolatie: f(x) = p(x)+r(x)f¢¢¢(x). De formule voor p is hieronder gedeeltelijk gegeven:

   p(x) = L0(x)f(x0) + L1(x)f(x1) + L2(x)f(x2) metL0(x) = (x-x1)(x-x2) (x0-x1)(x0-x2) .

   1. Laat zien dat L₀(x)+L₁(x)+ L₂(x) = 1 voor alle x.
   2. Geef de formules voor L₁(x), L₂(x) en r(x).
   3. Vanaf nu veronderstellen we dat h = x₁-x₀ = x₂-x₁. Door afrondfouten rekenen we met [^(f)] in plaats van met f, waarbij |[^(f)](x)-f(x)| £ e voor alle x. Toon aan dat |[^(p)](x)-p(x)| < 1.25 e als [^(p)] = L₀(x)[^(f)](x₀) +L₁(x)[^(f)](x₁) + L₂(x)[^(f)](x₂) (hint: schrijf x = x₀+ah).
   4. We hebben de volgende tabel:
      

      x	ex
      -0.2	0.8187
      -0.1	0.9048
      0	1.0000

      Geef een schatting van de afbreekfout en de afrondfout in de benadering [^(p)](-0.05) van e^-0.05. Is het zinvol om de getallen in de tabel met meer cijfers te bepalen (+motivatie)?

2. 1. Geef de Euler Voorwaarts (EV) en de Euler Achterwaarts (EA) methode. Geef aan of de methode expliciet of impliciet is.
   2. Leid de versterkingsfactor af voor beide methoden.
   3. Leid voor beide methoden de orde van de afbreekfout af voor de testvergelijking.
   4. Onderzoek de stabiliteit van beide methoden voor l Î \mathbbR en l £ 0.
   5. Gegeven het volgende beginwaarde probleem:

      y¢¢+100y¢+99y = t, met y(0) = 0, y¢(0) = 0.

      Schrijf dit probleem als een stelsel eerste orde differentiaalvergelijkingen.
   6. Welke numerieke methode (EV of EA) zou u kiezen om bovenstaand beginwaarde- probleem op te lossen (+motivatie)?

¹ voor de antwoorden zie: ../wi211/tentamen.html