`"

Technische Universiteit Delft
Faculteit Informatietechnologie en Systemen
Uitwerkingen toets wi2091: Numerieke methoden voor differentiaalvergelijkingen
dinsdag 20 augustus 2002, 16:00-17:30

    1. Ontwikkeling van de termen in een Taylorreeks met als steunpunt x geeft dat de afbreekfout O(h4) is.
    2. Het resultaat is uiteraard afhankelijk van het aantal cijfers dat meegenomen wordt bij de berekening. Met 15 cijfers is het resultaat
      Th(1) = 2.71828182816273 en het verschil is 3 ×10-10.
    3. In het meest pessimistische geval is
      | ^
      T
       
      h 
      		 (x) - Th(x)| £ e+ 16 e+ 30 e+ 16 e+e
      12h2
      		 = 16 e
      3h2
      		 .
    4. In dit geval is de afrondfout in de functiewaarden hoogstens 5×10-6. Uit onderdeel (c) volgt dan de schatting: 4/15 = 0.267. Het echte verschil is: |[^(T)]h(1) - Th(1)| = 0.0182.

    1. De versterkingsfactor volgt uit de definitie: schrijf wj+1 = Q(hl) wj voor de testvergelijking y¢ = ly. Neem f(t,y) = ly en substitueer dit in de definitie van RK4 dan volgt:
      Q(hl) = 1 + hl+ (hl)2
      2
      		 + (hl)3
      3!
      		 + (hl)4
      4!
      		   .
      .
    2. De definitie van de afbreekfout is:
      yj+1 - ^
      w
       
      j+1 
      h
      		 ,
      waarbij [^(w)]j+1 gelijk is aan één stap met de RK4 methode toegepast op yj. Dit geeft
      yj+1 - ^
      w
       
      j+1 
      h
      		 = ehlyj - Q(hl)yj
      h
      		 =
      (hl)5
      5!
      		 + ....
      h
      		 = O(h4).
    3. Door de keuze x1 = y en x2 = y¢ volgt:
      ì
      í
      î
      x1¢ = x2
      x2¢ = 1-4x1
      De eigenwaarden van de matrix zijn: l1 = 2i en l2 = -2i. Het stelsel is stabiel omdat het reele deel van de eigenwaarden gelijk aan nul is.
    4. Invullen van h = 1 en l1 = 2i geeft:
      Q(hl1) = -1+2i
      3
      		 .
      De modulus hiervan is kleiner dan 1, dus is de methode stabiel voor h = 1.

File translated from TEX by TTH, version 2.58.
On 22 Aug 2002, 12:20.